[定义] 项的集合 有一个存在性前提：满足那三条封闭条件的集合中真的有一个最小的。先固定一个背景集合 $𝑈$，包含节点标签取自 $\text{true}$、$\text{false}$、$0$、$\text{succ}$、$\text{pred}$、$\text{iszero}$、$\text{if}$ 的所有有限有序树（暂不限制每个标签的孩子数量）。$𝑈$ 本身满足三条封闭条件，所以满足条件的 $𝑈$ 的子集至少有一个，取交集不是在对空的一族集合操作。

把所有满足封闭条件的 $𝑈$ 的子集取交集，记为 $𝐼$：

• 每个集合都含 $\text{true}$、$\text{false}$、$0$，所以 $𝐼$ 也含这三个常量；
• 若 ${𝑡}_1\in 𝐼$，则 ${𝑡}_1$ 在每个集合里。每个集合都对三个一元构造封闭，所以 $\text{succ }{𝑡}_1$、$\text{pred }{𝑡}_1$、$\text{iszero }{𝑡}_1$ 也在每个集合里，因而在 $𝐼$ 里；
• 若 ${𝑡}_1,{𝑡}_2,{𝑡}_3\in 𝐼$，它们在每个集合里。每个集合都对 $\text{if}$ 构造封闭，所以 $\text{if }{𝑡}_1\text{ then }{𝑡}_2\text{ else }{𝑡}_3$ 也在交集里。

因此 $𝐼$ 满足全部封闭条件，而且按交集的定义，它包含在每个满足条件的集合里。这就是所需的最小集合 ，不是从一堆集合里凭直觉挑一个。