“归纳”（induction）这个词在不同领域里意思不一样，先分清楚。

• 在经验科学和日常推理里，归纳推理是从有限个观察得出普遍结论：见过的天鹅都是白的，于是“所有天鹅都是白的”。与它对立的是演绎推理（deduction）：从前提出发，按逻辑规则推出结论，前提为真则结论必真。归纳推理的结论可能出错（澳大利亚有黑天鹅），休谟（Hume）在 18 世纪指出，归纳推理没有逻辑上的保证，这就是归纳问题。
• 数学里的数学归纳法名字里虽然有“归纳”，却是一种演绎：证明 $𝑃\left(0\right)$，再证明“$𝑃\left(𝑛\right)$ 蕴涵 $𝑃\left(𝑛+1\right)$”，就能断定所有自然数都满足 $𝑃$，没有任何“可能出错”的余地。 [定理] 结构归纳原理（structural induction） 与 [定理] 对推导归纳 使用的也是这种演绎证明方法。

数学归纳法的历史很长。古希腊的欧几里得（Euclid）证明素数有无穷多个时，已经有了它的影子；16 世纪的莫罗利科（Maurolico）、17 世纪的帕斯卡（Pascal）在讨论二项式系数时比较明确地用了它；“数学归纳法”这个名字是 19 世纪德摩根（De Morgan）起的。19 世纪末，戴德金（Dedekind）和皮亚诺（Peano）把它写成了自然数的公理之一，并指出它其实来自“自然数是包含 $0$、对后继封闭的最小集合”。 [定理] 结构归纳原理（structural induction） 把这个想法从自然数推广到由规则搭起来的有限树。

在程序语言理论里，和归纳对立的是余归纳（coinduction）。归纳对应“最小”的集合，处理有限的、搭得完的对象；余归纳对应“最大”的集合，处理可以无限展开的对象，比如永不停机的程序、无穷长的数据流。 [定义] 项的集合 的有限项与 [定义] 一步归约 的有限推导都属于归纳定义的对象。