取 [定义] 项的集合 中的有限项，树的术语见 [定义] 树的基本术语 ，归纳方法采用 [定理] 结构归纳原理（structural induction） 。

取 $𝑃\left(𝑡\right)$ 为“$𝑡$ 至少含有一个叶子”。常量本身就是叶子，基础情形成立。证明 $𝑃\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$ 时， 归纳假设 $𝑃\left({𝑡}_1\right)$ 给出 ${𝑡}_1$ 中有一个叶子；加上 $\text{pred}$ 根以后，那个叶子仍然存在。证明 $𝑃\left(\text{if }{𝑡}_1\text{ then }{𝑡}_2\text{ else }{𝑡}_3\right)$ 时，任取一个孩子中的叶子即可。对于 $\text{pred }\left(\text{succ }0\right)$，先验证 $𝑃\left(0\right)$，再推出 $𝑃\left(\text{succ }0\right)$，最后推出整项的性质，没有一步用到尚未证明的结论。

反过来，试图证明错误命题 $𝑄\left(𝑡\right)$：“$𝑡$ 不含 $\text{pred}$”，然后在 $\text{pred }{𝑡}_1$ 的情形里说“假定 $𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$，所以它不含 $\text{pred}$”，就是循环论证（circular reasoning）：用待证结论本身支持待证结论。它至多证明了 $𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)⟹𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$，没有证明归纳步骤要求的 $𝑄\left({𝑡}_1\right)⟹𝑄\left(\text{pred }{𝑡}_1\right)$。实际取 ${𝑡}_1=0$，前者 $𝑄\left(0\right)$ 为真，后者 $𝑄\left(\text{pred }0\right)$ 为假，反例立刻出现。

循环也可以藏在两步里：“为了证明父项满足 $𝑃$，先用父项满足 $𝑃$ 来证明子项满足 $𝑃$，再由子项推出父项”。两句话合起来仍然没有独立的起点。